nombres (Les) - Problèmes anciens et actuels

série "Mathémathèmes"Ce livre représente l'ensemble des conférences données au Colloque sur les nombres organisé par l'IREM de Lille (Institut de recherche sur l'enseignement des mathématiques) les 10 et 11 mars 1998 dans le cadre de la formation continue des enseignants du secondaire. SOMMAIRESur le manche de ma guitare…, Michel RODRIGUEZ. 1. Prélude. 2. Premier mouvement : ce qui intervient dans l'élaboration d'une gamme musicale. 3. Deuxième mouvement: Les gammes naturelles (Pythagore puis Zarlino). 4. Troisième mouvement : Tempérons nos ardeurs. 5. Final. Le billard, Pierre DELHAY. 1. Justification de l'assertion initiale. 2. Un premier résultat. 3. Étude d'un réseau d'éléments de base. 4. Condition nécessaire et suffisante de périodicité. 5. Conclusion. Sommes de deux carrés, Daniel DUVERNEY. l. Nombres premiers qui sont somme de deux carrés. 2. Calcul pratique de la décomposition. 3. L'anneau des entiers de Gauss. 4. Décomposition d'un entier naturel en somme de deux carrés. 5. Nombre de décompositions. 6. Calcul de ? et sommes de deux carrés. Le codage sturmien des nombres, Jean-Pierre REVEILLÈS. 1. Introduction. 2. Quasi-linéarité des mots de Sturm. 3. Caractérisation incrémentale des segments discrets. 4. Mots de Sturm et droites discrètes. 5. Les algorithmes d'Euclide et Christoffel. 6. Le théorème de Dulucq-Mignosi. Courbes elliptiques et théorie des nombres : factorisation, cryptage et décryptage, André WARUSFEL. 1. Loi de groupe sur une courbe elliptique. 2. Cryptographie à l'aide d'une courbe elliptique. 3. Factorisation d'un entier à l'aide d'une courbe elliptique. Charles-Jean de La Vallée Poussin et le théorème des nombres premiers, Jean MAWHIN. 1. Introduction. 2. Éléments biographiques. 3. La conjecture de Gauss sur les nombres premiers. 4. Le théorème des nombres premiers. 5. Les points cruciaux de l'approche de La Vallée Poussin. 6. La répartition asymptotique de certaines classes de nombres premiers. 7. Estimation plus précise des zéros de z et application au théorème des nombres premiers. 8. Autres contributions de la Vallée Poussin à la théorie des nombres. Cent et un ans après Hadamard et de La Vallée Poussin, Olivier RAMARÉ. 1. Heuristique. 2. L'approche de Riemann. 3. L'idée de Dirichlet. 4. Le théorème de Brun-Titchmarsh. 5. Un petit détour en théorie comparative. Le théorème de Sarkovski, Youssef HANTOUT. 1. Introduction. 2. Notion de graphe de Markov. 3. Exemples de graphes de Markov. 4. Stratégie de la preuve. 5. Présentation de la bibliographie. Nature arithmétique de certaines intégrales, Marc HUTTNER. 1. Introduction. 2. Le logarithme complexe et sa surface de Riemann. 3. Surface de Riemann d'une fonction rationnelle. 4. Nature arithmétique d'une intégrale de fraction rationnelle. 5. L'arcsinus. 6. Courbes elliptiques. 7. Résultats d'arithmétique sur les courbes elliptiques. 8. Conclusion. D'une remarque "in passing" des œuvres complètes de Hardy aux fractions continues, Hervé QUEFFÉLEC. 1. Introduction. 2. Réduction du problème. 3. Théorie élémentaire des fractions continues. 4. Solution du problème. 5. Conclusion et remarques finales. Ressemblances et différences entre Z et K[t], Yves HELLEGOUARCH. 1. Analogies euclidiennes. 2. Relations ABC. 3. Premières analogies dans le cas global. 4. Deuxièmes analogies dans le cas global. Sur la mécanique statistique d'après les travaux de Bost-Connes, Paula B. COHEN. 1. La fonction z de Riemann. 2. Fonctions de partition. 3. Le système dynamique de Bost et Connes. 4. Brisure spontanée de symétrie. 5. Conclusion. Côté et diagonale : approche numérique des Pythagoriciens, Joëlle DELATTRE. 1. Ce qu'enseignait Théon de Smyme. 2. Comment interpréter ce que signifient les "raisons séminales" ? 3. Peut-on représenter par une figure géométrique le procédé décrit ? 4. Une approximation de "racine de deux" ou un exercice philosophique ?